Comment utiliser le théorème de Thalès : le guide

Le théorème de Thalès est un résultat de géométrie qui permet d'effectuer des calculs de longueurs sur des figures planes. Thalès était un mathématicien grec, célèbre pour sa découverte de ce théorème, qu'il a réalisée en mesurant la hauteur des pyramides, d'où son nom.

Comment faire pour vérifier les conditions d’application du théorème ?

Ainsi s'énonce le théorème de Thalès : lorsque deux triangles ont leurs sommets alignés au même niveau et que les côtés opposés forment des droites parallèles, les rapports des longueurs des côtés correspondants sont égaux.

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Pour vérifier les conditions d'application du théorème, il est essentiel que les deux triangles aient leurs sommets alignés dans le même ordre, ce qui signifie que tous les points doivent être alignés. De plus, les droites formées par les côtés opposés aux sommets alignés doivent être parallèles. Si ces deux conditions sont remplies, alors les deux triangles sont véritablement semblables.

Comment donner les égalités qui résultent du théorème ?

Lorsque les conditions sont remplies, vous pouvez établir les égalités résultant du théorème en utilisant la formule suivante : ABAM = ACAN = BCMN. Cela signifie que si A, M, B et A, N, C sont alignés, et que (MN) et (BC) sont parallèles, vous pouvez simplement remplacer les initiales par les véritables mesures.

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Par exemple, pour calculer la longueur MN, vous pouvez utiliser la première ou la deuxième égalité. Si AB vaut 6, AM vaut 3 et BC vaut 4, vous pouvez utiliser la formule ABAM = BCMN : "63 = 4MN". En simplifiant par 3 et en multipliant, vous obtenez MN = 2. Ainsi, la longueur de MN est de 2.

Comprendre les variantes du théorème

Le théorème de Thalès peut se décliner en plusieurs variantes, selon la situation. Il existe la réciproque du théorème, la contraposée du théorème et le cas particulier du triangle rectangle.

  • La réciproque du théorème affirme que lorsque deux triangles ont leurs sommets alignés au même niveau et que les rapports des longueurs des côtés correspondants sont égaux, alors les côtés opposés à ces sommets sont réellement parallèles.
  • En ce qui concerne la contraposée du théorème, si vous découvrez que les deux triangles ont leurs sommets alignés dans le même ordre, mais que les droites formées par les côtés opposés aux sommets ne sont pas parallèles, alors les rapports des longueurs des côtés correspondants ne seront pas identiques.
  • Quant au cas particulier du triangle rectangle, si vous avez un triangle rectangle en un sommet A et que vous tracez une droite parallèle à l'hypoténuse passant par A, cette droite coupera le côté opposé à l'angle droit en son milieu.

Enfin, le théorème de Thalès trouve des applications dans de nombreux domaines, de l'astronomie à l'architecture en passant par le sport. Il est utilisé pour calculer des distances en astronomie, dans la construction d'édifices à base triangulaire, en architecture, ou encore pour mesurer des hauteurs de sauts en longueur dans le domaine sportif.

Ainsi, contrairement à ce que certaines personnes puissent penser, la majorité des théories en mathématiques sont indispensables et nous aident dans la vie quotidienne.